路径追踪 - Li Jiaheng's blog

辐射度量概念.#

一些图形学中使用的关于光的辐射度量的一些概念。

Power#

Power是电磁辐射(一般图形学中就当做光照)的功率。能量Q (energy, 单位焦耳)在图形学中几乎不使用。电磁辐射(光照)功率 $\Phi$ 定义

\Phi=\frac{dQ}{dt}

单位 瓦特（Watt） 或者 流明（Lumen）

Intensity#

或者称 Radiant Intensity，是衡量辐射在单位立体角上的功率。Intensity $I(\omega)$ 定义为：

I(\omega)=\frac{d\Phi}{d\omega}

单位瓦特每立体角，也是流明每立体角，也是坎德拉（cd）。

立体角#

物理中常用的概念。平面上有弧度角，是圆上一段弧所张的角度，使用弧长与半径的比值定义。立体家就是将弧度角推广到三维，是球上一片区域所张的角度，类比弧度角，立体角用区域面积 A 相对于半径的平方定义。

\Omega=\frac{A}{r^2}

单位sr。

由于球的面积 $S=4\pi r^2$ ，所以完整的球面所张立体角为 $4\pi$ 。不只是球面，所有封闭曲面对内所张的立体角都是 $4\pi$ 。

令 $\theta$ 为向量与z轴所张的角， $\psi$ 为向量和 y 轴所张的角，A和 $\omega$ 的微分有如下等式：

\begin{aligned} dA&=(rd\theta)(r\sin{\theta} d\psi)=r^2\sin{\theta} d\theta d\psi \\ d\omega &= \frac{dA}{r^2}=\sin{\theta} d\theta d\psi \end{aligned}

Irradiance#

单位面积上从单位立体角方向接收的功率。Irradiance $E(\textbf{x})$ （其中 $\textbf{x}$ 表示所计算的接收辐射的方向）。

E(\textbf{x})=\frac{d\Phi(\textbf{x})}{dA \cos \theta}

单位瓦特每平方米，或者流明每平方米，后者也就是勒克斯(lux)。

注意和大部分物理上的处理一样，面积只计算直接垂直于入射方向的那部分。也就是如果光线与法线呈60°入射到一个平面，这个平面的面积为A，则它拿去算 irradiance 的面积只有 cos 60° 也就是1/2，也就是cos的投影关系。这也是为什么兰伯特光照模型里，光照要乘以 cos(法线与入射光线方向的夹角)。

这个概念也一定程度上提示了光照衰减。点光源发射的总能量有限，越近的球面总面积越少(A越小)，除以A后单位面积上摊到的就多；远的球总面积大，单位面积上摊到的就小。因为面积是平方增加，所以似乎光照能量就是平方衰减，但实际上不是这么简单就是了。

Radiance#

这是光线追踪中最重要的物理量，它描述一条光线。
它表示表面发射或者接收的辐射功率、每单位投影面积、每单位立体角。Radiance $L(p,\omega)$ （其中p是这块小面积的位置、它的面积是A， $\omega$ 是关注的光线方向的立体角（注意是光线去向/来向的立体角，不是小面积的立体角））定义：

\begin{aligned} L(p,\omega)&= \frac{dE(p,\omega)}{d\omega} \\ L(p,\omega)&= \frac{dI(p,\omega)}{d\omega} \\ L(p,\omega)&=\frac{d^2\Phi(p,\omega)}{dA\cos\theta d\omega} \end{aligned}

直观理解为，先是求 irradiance 得到单位投影面积的功率，然后对立体角微分抽取出其中所需要的单位方向的那部分功率。——这个步骤也可以反过来。

单位是瓦特每立体角每平方米 $W/(sr \cdot m^2)$ ，或者坎德拉每平方米，或者流明每立体角每立方米，或者 $nit$ （我也不知道这是啥）。

辐射度量概念.#

Power#

Intensity#

立体角#

Irradiance#

Radiance#

BRDF#

Rendering Equation#

渲染方程#

Path Tracing#

从渲染方程到算法#

优化#